Через точку одной из параллельных плоскостей проведена прямая, параллельная второй плоскости. Верно ли, что эта прямая лежит в первой плоскости?

Да, верно.

Пояснение. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, $A\in\alpha$, а через $A$ проведена прямая $l$, параллельная плоскости $\beta$.

1. Плоскости $\alpha\parallel\beta$ имеют один и тот же набор направлений (одинаковый нормальный вектор). Если прямая $l\parallel\beta$, то её направляющий вектор лежит в любом направлении, параллельном $\beta$; следовательно, он параллелен и $\alpha$. Иными словами, $l\parallel\alpha$.

2. Если прямая параллельна плоскости и имеет с ней общую точку, то она целиком лежит в этой плоскости (иначе была бы либо одна точка пересечения, либо ни одной; параллельность исключает единственную точку пересечения). Поскольку $l$ проходит через $A\in\alpha$ и $l\parallel\alpha$, получаем $l\subset\alpha$.

Альтернативно: через прямую $l$ существует единственная плоскость $\gamma$, параллельная $\beta$. Но $\alpha$ тоже параллельна $\beta$ и проходит через $A\in l$. Две разные параллельные плоскости не могут иметь общих точек; раз у $\alpha$ и $\gamma$ есть общая точка $A$, значит $\alpha=\gamma$, откуда $l\subset\alpha$.

Итак, прямая действительно лежит в первой плоскости.