Можно ли представить одночлен С в виде квадрата некоторого одночлена D, если: a) C = 25a^10; б) C = -36d^4; в) C = 8c^8; г) C = 16b^7?

Чтобы одночлен $C$ можно было представить в виде квадрата некоторого одночлена $D$ (то есть $C = D^2$), должны выполняться два условия:

1. Коэффициент одночлена $C$ должен быть квадратом числа (в частности, квадрат всегда неотрицателен).

2. Степени всех переменных в $C$ должны быть чётными, потому что при возведении одночлена в квадрат каждая степень удваивается.

Проверим каждый пункт.

a) $C = 25a^{10}$

• $25$ — это квадрат числа: $25 = 5^2$.

• Степень $a$ равна $10$, это чётное число, значит можно взять половину степени: $10/2 = 5$.

Тогда:

Ответ: да, можно. $D = 5a^5$.

б) $C = -36d^4$

• Коэффициент $-36$ отрицательный, а квадрат любого действительного одночлена не может быть отрицательным.

• Даже несмотря на то, что $d^4$ имеет чётную степень, знак «минус» делает представление квадратом невозможным (в рамках обычных действительных одночленов).

Ответ: нет, нельзя, потому что квадрат не бывает отрицательным.

в) $C = 8c^8$

• Степень $c$ равна $8$, чётная: это хорошо.

• Но коэффициент $8$ не является квадратом целого (и даже рационального) числа.
  Если одночлен $D$ должен быть одночленом с обычным числовым коэффициентом (целым/рациональным), то квадрат такого коэффициента не даст $8$.

Например, чтобы было $D^2 = 8c^8$, пришлось бы взять коэффициент $\sqrt{8}$, то есть:

Но $\sqrt{8}$ — не рациональное число, и в школьных задачах обычно требуют одночлен с рациональным коэффициентом.

Ответ: нельзя (если одночлен $D$ должен иметь рациональный коэффициент).
(Если разрешать иррациональный коэффициент, то можно: $D=\sqrt{8}\,c^4$.)

г) $C = 16b^7$

• $16 = 4^2$ — коэффициент подходит.

• Но степень $b$ равна $7$, это нечётное число. А в квадрате степени всегда чётные.

Ответ: нет, нельзя, потому что степень переменной нечётная.

Итоги

• a) можно: $25a^{10} = (5a^5)^2$

• б) нельзя: одночлен отрицательный

• в) нельзя (в стандартном понимании одночлена с рациональным коэффициентом)

• г) нельзя: нечётная степень $b^7$