1) Упростите выражение tg(3π/2 + a)sin(π - a)/cos(3π/2 - a) 2) Докажите тождество sin 2a + tg 2a / tg 2a = 2cos²a

1) Упростим выражение $\frac{\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) \sin(\pi - a)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right)}$:

1. Используем свойства тригонометрических функций:

   • $\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$ можно преобразовать с помощью формулы для тангенса суммы:

     $$\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \frac{\tan\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \tan(a)}{1 - \tan\left(\frac{3\pi}{2}\right)\tan(a)}$$

     Однако $\tan\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ не существует, так как это точка, где тангенс не определён. Следовательно, проще воспользоваться знанием, что:

     $$\tan\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\cot(a)$$

2. Упрощение $\sin(\pi - a)$:

   Используем формулу для синуса:

   $$\sin(\pi - a) = \sin(a)$$

3. Упрощение $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right)$:

   Используем формулу для косинуса:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} - a\right) = \sin(a)$$

Теперь подставляем эти выражения в исходное:

4. Упростим выражение:

   $\sin(a)$ в числителе и знаменателе сокращается, оставляя:

   $$-\cot(a)$$

Ответ: Упрощённое выражение — $-\cot(a)$.

2) Докажем тождество:

1. Начнём с левой части тождества:

   Разделим выражение на две части:

   $$\frac{\sin 2a}{\tan 2a} + \frac{\tan 2a}{\tan 2a}$$

2. Упростим вторую часть:

   Во второй части знаменатель и числитель одинаковые, поэтому:

   $$\frac{\tan 2a}{\tan 2a} = 1$$

   Остаётся:

   $$\frac{\sin 2a}{\tan 2a} + 1$$

3. Преобразуем первую часть:

   Используем формулу для тангенса:

   $$\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a}$$

   Следовательно:

   $$\frac{\sin 2a}{\tan 2a} = \frac{\sin 2a}{\frac{\sin 2a}{\cos 2a}} = \cos 2a$$

4. Итак, левая часть становится:

   $$\cos 2a + 1$$

5. Используем формулу для косинуса удвоенного угла:

   Из формулы для $\cos 2a$:

   $$\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$$

   Подставим это в выражение:

   $$2\cos^2 a - 1 + 1 = 2\cos^2 a$$

Ответ: Мы доказали тождество $\frac{\sin 2a + \tan 2a}{\tan 2a} = 2\cos^2 a$.