решите уравнение lg²x+4lg(10x)=1

Решим уравнение

где $\lg$ — десятичный логарифм.

1) Область определения

Логарифмы определены, когда аргументы положительны:

• $\lg x$ существует при $x>0$,

• $\lg(10x)$ существует при $10x>0 \Rightarrow x>0$.

Значит, $x>0$.

2) Упростим выражение

Используем свойство логарифма:

Подставим в уравнение:

Раскроем скобки:

Перенесём 1 влево:

3) Замена переменной

Обозначим $t=\lg x$. Тогда получаем квадратное уравнение:

Разложим на множители:

Отсюда:

4) Возвращаемся к $x$

Так как $t=\lg x$, имеем:

1. $\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0.1$

2. $\lg x=-3 \Rightarrow x=10^{-3}=0.001$

Оба значения положительны, значит подходят области определения.

Ответ: