В геометрической прогрессии 2-й и 4-й члены отрицательны. Каким может быть знак знаменателя? Приведите примеры.

В геометрической прогрессии для каждого члена выполняется следующее соотношение:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$,

где $a_n$ — это n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, а $r$ — знаменатель прогрессии (или её отношение).

Предположим, что второй и четвёртый члены геометрической прогрессии отрицательны. Рассмотрим их выражения:

• Второй член прогрессии: $a_2 = a_1 \cdot r$,

• Четвёртый член прогрессии: $a_4 = a_1 \cdot r^3$.

Нам известно, что оба этих члена отрицательны, то есть:

1. $a_2 = a_1 \cdot r < 0$,

2. $a_4 = a_1 \cdot r^3 < 0$.

Рассмотрим возможные случаи для знака знаменателя $r$.

• Если $a_1 > 0$, то $r$ должно быть отрицательным, чтобы оба члена были отрицательными. Для второго члена $a_2 = a_1 \cdot r$ знак $r$ определяет знак $a_2$, а для четвёртого члена $a_4 = a_1 \cdot r^3$ знак также зависит от $r$.

• Если $a_1 < 0$, то $r$ должно быть положительным, так как произведение двух отрицательных чисел даёт положительный результат, что обеспечит отрицательность второго и четвёртого членов.

Таким образом, знак знаменателя прогрессии $r$ может быть либо отрицательным, либо положительным в зависимости от знака первого члена прогрессии.

Примеры:

1. Если $a_1 = 1$ и $r = -2$, то:

   • Второй член $a_2 = 1 \cdot (-2) = -2$,

   • Четвёртый член $a_4 = 1 \cdot (-2)^3 = -8$.
     Оба члена отрицательные, и знаменатель $r = -2$ отрицателен.

2. Если $a_1 = -1$ и $r = 2$, то:

   • Второй член $a_2 = -1 \cdot 2 = -2$,

   • Четвёртый член $a_4 = -1 \cdot 2^3 = -8$.
     Оба члена отрицательные, и знаменатель $r = 2$ положителен.

Таким образом, знак знаменателя прогрессии может быть как отрицательным, так и положительным в зависимости от знака первого члена прогрессии.