Вычислить косинус^2 15 - косинус^2 75 используя теоремы сложения

Для того чтобы вычислить выражение $\cos^2(15^\circ) - \cos^2(75^\circ)$, можно воспользоваться известной тригонометрической формулой для разности квадратов:

В данном случае $a = \cos(15^\circ)$ и $b = \cos(75^\circ)$, так что:

Теперь вычислим эти выражения с использованием теоремы сложения для косинусов:

1. Для разности косинусов:

   $$\cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) = -2 \sin\left(\frac{15^\circ + 75^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{15^\circ - 75^\circ}{2}\right)$$ $$= -2 \sin(45^\circ) \sin(-30^\circ)$$ $$= -2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

2. Для суммы косинусов:

   $$\cos(15^\circ) + \cos(75^\circ) = 2 \cos\left(\frac{15^\circ + 75^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{15^\circ - 75^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \cos(45^\circ) \cos(-30^\circ)$$ $$= 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Теперь подставим эти значения в исходную формулу:

Выполнив умножение: