Решить уравнение: \( x^{\lg x - 1} = 100 \)

Для того чтобы решить уравнение $x^{\lg x - 1} = 100$, начнём с его преобразования.

1. Воспользуемся свойствами логарифмов и перепишем выражение:

   $x^{\lg x - 1} = 100$ можно записать как $x^{\lg x} \cdot x^{-1} = 100$. Это следует из того, что $\lg x - 1 = \lg x - \lg 10$, а $x^{\lg x - 1} = x^{\lg x} \cdot x^{-1}$.

2. Упростим это выражение:

   $$\frac{x^{\lg x}}{x} = 100$$

3. Теперь умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$x^{\lg x} = 100x$$

4. Применим логарифм к обеим частям уравнения (возьмём логарифм по основанию 10):

   $$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100x)$$

5. Воспользуемся свойствами логарифмов:

   $$\lg x \cdot \lg x = \lg 100 + \lg x$$

6. $\lg 100 = 2$, поэтому уравнение преобразуется в:

   $$(\lg x)^2 = 2 + \lg x$$

7. Переносим все в одну сторону:

   $$(\lg x)^2 - \lg x - 2 = 0$$

8. Это квадратное уравнение относительно $\lg x$. Решим его с помощью формулы дискриминанта.

   Дискриминант:

   $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

9. Корни уравнения:

   $$\lg x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$\lg x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{или} \quad \lg x = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

10. Теперь найдём $x$ для каждого из этих значений:

• Если $\lg x = 2$, то $x = 10^2 = 100$.

• Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0.1$.

Ответ: $x = 100$ или $x = 0.1$.