В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса BL, а в треугольнике BLC — биссектриса LD. Найдите угол BLD.

Обозначим углы равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$.

Так как основание — $AC$, то равные стороны $AB=BC$, значит углы при основании равны:

Тогда вершина при $B$:

Проведена биссектриса $BL$, значит она делит угол $B$ пополам:

Теперь рассмотрим треугольник $BLC$.

• Угол при $B$ в нём равен $\angle LBC = 90^\circ - \alpha$.

• Точка $L$ лежит на $AC$, поэтому луч $CL$ совпадает с лучом $CA$, значит угол при $C$ в треугольнике $BLC$:

Тогда третий угол треугольника $BLC$, угол при $L$:

По условию в треугольнике $BLC$ проведена биссектриса $LD$, то есть она делит угол $\angle BLC$ пополам. Следовательно,

Ответ: $\angle BLD = 45^\circ$.