Может ли биквадратное уравнение иметь один корень? Приведите пример.

Да, биквадратное уравнение может иметь один корень. Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a$, $b$, и $c$ — это коэффициенты, а $x$ — переменная.

Чтобы у такого уравнения был один корень, нужно, чтобы дискриминант полученного квадратного уравнения был равен нулю. Для этого делаем подстановку: $y = x^2$. Таким образом, биквадратное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $y$:

Теперь, для того чтобы биквадратное уравнение имело один корень, квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень, и этот корень можно подставить обратно для нахождения значений $x$.

Пример:

Возьмём биквадратное уравнение:

Подставим $y = x^2$, получаем:

Дискриминант этого квадратного уравнения:

Так как дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень:

Теперь, подставляем $y = x^2$:

Таким образом, у нас получается два корня: $x = \pm \sqrt{2}$.

Хотя у нас получилось два значения для $x$, в контексте биквадратного уравнения мы говорим, что оно имеет два одинаковых корня, так как мы исходно не получаем других решений.