Найдите наибольшее двузначное натуральное число, произведение цифр которого на 11 больше их суммы. С решением.

Для того чтобы найти наибольшее двузначное натуральное число, произведение цифр которого на 11 больше их суммы, давайте рассмотрим его шаг за шагом.

Обозначим двузначное число как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Из условия задачи известно, что произведение цифр этого числа на 11 больше их суммы, то есть:

Теперь преобразуем это уравнение. Переносим все на одну сторону:

Добавим 1 к обеим частям уравнения, чтобы упростить выражение:

Дальше можно представить левую часть как:

Теперь решаем уравнение $(a - 1)(b - 1) = 12$. Это означает, что $a - 1$ и $b - 1$ — такие числа, произведение которых равно 12. Разберем все возможные пары чисел, произведение которых равно 12:

• $(a - 1) = 1$ и $(b - 1) = 12$, что дает $a = 2$ и $b = 13$, но $b$ не может быть больше 9, поэтому эта пара не подходит.

• $(a - 1) = 2$ и $(b - 1) = 6$, что дает $a = 3$ и $b = 7$.

• $(a - 1) = 3$ и $(b - 1) = 4$, что дает $a = 4$ и $b = 5$.

• $(a - 1) = 4$ и $(b - 1) = 3$, что дает $a = 5$ и $b = 4$.

• $(a - 1) = 6$ и $(b - 1) = 2$, что дает $a = 7$ и $b = 3$.

• $(a - 1) = 12$ и $(b - 1) = 1$, что дает $a = 13$ и $b = 2$, но $a$ не может быть больше 9, поэтому эта пара тоже не подходит.

Таким образом, возможные значения для $a$ и $b$ — это:

• $a = 3$, $b = 7$

• $a = 4$, $b = 5$

• $a = 5$, $b = 4$

• $a = 7$, $b = 3$

Теперь проверим, какое из этих чисел будет наибольшим. Числа, которые получаются, это:

• 37

• 45

• 54

• 73

Наибольшее из них — это $73$.

Проверим, выполняется ли условие задачи для этого числа. Для числа $73$ произведение цифр равно $7 \times 3 = 21$, а сумма цифр $7 + 3 = 10$. Действительно, $21 = 10 + 11$, что соответствует условию задачи.

Таким образом, наибольшее двузначное число, произведение цифр которого на 11 больше их суммы, — это 73.