Найдите объем тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.

Для того чтобы найти объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг прямой, которая проходит через середины его больших сторон, нужно воспользоваться методом объема вращающегося тела.

1. Рассмотрим прямоугольник с размерами 4 см и 6 см. В данном случае, большая сторона прямоугольника (6 см) будет перпендикулярна оси вращения.

2. Ось вращения проходит через середину большой стороны прямоугольника. То есть, ось вращения расположена по центру прямоугольника, перпендикулярно его большой стороне, и будет находиться на расстоянии 3 см от каждой стороны прямоугольника (половина длины большой стороны).

3. При вращении прямоугольника вокруг этой оси образуется цилиндр. Радиус основания цилиндра будет равен половине ширины прямоугольника, то есть 2 см (половина меньшей стороны).

4. Высота цилиндра равна длине большей стороны прямоугольника, то есть 6 см.

Теперь можем вычислить объем цилиндра по формуле:

где:

• $r = 2 \, \text{см}$ — радиус основания,

• $h = 6 \, \text{см}$ — высота цилиндра.

Подставляем значения:

Таким образом, объем тела, полученного вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон, равен $24\pi \, \text{см}^3$, что примерно равно 75,4 см³.