При каком значении b система уравнений xy=1, x²+y²=b имеет ровно два решения?

Рассмотрим систему уравнений:

1. $xy = 1$

2. $x^2 + y^2 = b$

Нам нужно найти такое значение $b$, при котором система имеет ровно два решения.

Шаг 1: Решим первое уравнение для $y$

Из первого уравнения $xy = 1$ выразим $y$ через $x$:

Шаг 2: Подставим выражение для $y$ во второе уравнение

Теперь подставим $y = \frac{1}{x}$ во второе уравнение $x^2 + y^2 = b$:

Шаг 3: Упростим уравнение

Для удобства введем новую переменную:

Тогда уравнение примет вид:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $z$:

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $z$.

Шаг 4: Найдем условия для двух решений

Чтобы система имела ровно два решения, квадратное уравнение должно иметь два корня. Корни квадратного уравнения существуют, если его дискриминант положителен.

Дискриминант квадратного уравнения $z^2 - bz + 1 = 0$ равен:

Чтобы уравнение имело два разных корня, дискриминант должен быть положительным:

Решая неравенство:

Это означает, что $b$ должно быть больше 2 или меньше -2.

Шаг 5: Условия для ровно двух решений

Для того чтобы система имела ровно два решения, должно существовать только два различных значения для $x$ (так как мы рассматриваем $y = \frac{1}{x}$).

При $b = 2$ и $b = -2$ квадратное уравнение будет иметь единственный корень (при этих значениях дискриминант равен 0). То есть, для $b = 2$ и $b = -2$ система имеет ровно одно решение, а не два.

Таким образом, система будет иметь ровно два решения при $b > 2$ или $b < -2$.

Ответ:

Система уравнений имеет ровно два решения при $b = 2$ или $b = -2$.