При каком значении параметра p система уравнений {x² + y² = 36, y - x² = p} имеет три решения?

Для того чтобы система уравнений $\{ x^2 + y^2 = 36, \, y - x^2 = p \}$ имела три решения, необходимо найти такие значения параметра $p$, при которых существует ровно три решения для $x$ и $y$.

Рассмотрим оба уравнения. Первое уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Второе уравнение можно переписать как $y = x^2 + p$, что представляет собой параболу, смещенную по оси $y$ на $p$.

Чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы парабола касалась окружности в одной точке и пересекала её ещё в одной точке. Это возможно, если парабола касается окружности в одной из точек. Для этого рассмотрим геометрическое положение двух кривых:

1. Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 36$ даёт зависимости $y = \pm \sqrt{36 - x^2}$.

2. Подставим $y = x^2 + p$ во второе уравнение окружности:

   $$x^2 + (x^2 + p)^2 = 36.$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2 + (x^4 + 2px^2 + p^2) = 36.$$

   Упростим:

   $$x^4 + (2p + 1)x^2 + p^2 = 36.$$

   Переносим 36 на левую часть:

   $$x^4 + (2p + 1)x^2 + p^2 - 36 = 0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $x^2$. Пусть $z = x^2$. Тогда получаем:

   $$z^2 + (2p + 1)z + p^2 - 36 = 0.$$

   Для того чтобы система имела три решения, это уравнение должно иметь два корня, один из которых будет кратным, а другой — простым. То есть дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

   $$\Delta = (2p + 1)^2 - 4(1)(p^2 - 36) = 0.$$

   Раскроем и упростим:

   $$(2p + 1)^2 - 4(p^2 - 36) = 0,$$ $$4p^2 + 4p + 1 - 4p^2 + 144 = 0,$$ $$4p + 145 = 0,$$ $$p = -\frac{145}{4}.$$

Таким образом, при значении $p = -\frac{145}{4}$ система уравнений имеет три решения.