При каком значении параметра a уравнение ax² + 2(a + 6)x + 24 = 0 имеет два различных корня?

Для того чтобы уравнение $ax^2 + 2(a + 6)x + 24 = 0$ имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным.

Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = a$,

• $b = 2(a + 6)$,

• $c = 24$.

Дискриминант для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

Подставим значения $a$, $b$ и $c$:

Раскроем скобки:

Теперь упростим выражение:

Чтобы уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля:

Для решения этого неравенства сначала разделим обе части на 4:

Теперь решим неравенство $a^2 - 12a + 36 > 0$. Это выражение — полный квадрат:

Площадь квадрата всегда больше нуля, за исключением случая, когда его сторона равна нулю. Таким образом, $(a - 6)^2 > 0$ выполняется при $a \neq 6$.

Итак, уравнение $ax^2 + 2(a + 6)x + 24 = 0$ имеет два различных корня при любом значении $a$, кроме $a = 6$.