Вычислите, применяя законы сложения: (-10) + (-9) + (-8) + (-7) + ... + 7 + 8 + 9 + 10 и (-100) + (-99) + (-98) + ... + 98 + 99 + 100.

Рассмотрим оба выражения как суммы последовательных целых чисел, симметричных относительно нуля. Удобнее всего применять закон переместительности и сочетательности: можно перегруппировать слагаемые попарно.

1) $(-10)+(-9)+(-8)+\dots+7+8+9+10$

Это сумма всех целых чисел от $-10$ до $10$.

Сгруппируем числа в пары вида $(-k)+k$:

• $(-10)+10=0$

• $(-9)+9=0$

• $(-8)+8=0$

• …

• $(-1)+1=0$

Каждая такая пара даёт $0$. Кроме того, в середине остаётся число $0$, но оно тоже не меняет сумму.

Значит, вся сумма равна:

Ответ: $\;(-10)+(-9)+\dots+10 = 0.$

2) $(-100)+(-99)+(-98)+\dots+98+99+100$

Аналогично, это сумма всех целых чисел от $-100$ до $100$.

Снова группируем попарно:

• $(-100)+100=0$

• $(-99)+99=0$

• …

• $(-1)+1=0$

Все пары дают $0$, и число $0$ в середине тоже даёт $0$.

Следовательно, сумма равна:

Ответ: $\;(-100)+(-99)+\dots+100 = 0.$

Итог

• $(-10)+(-9)+\dots+10 = 0$

• $(-100)+(-99)+\dots+100 = 0$