Найдите все значения параметра \( a \), при которых уравнение \( (a^2 - 4)x^2 - 2(a - 2)x + 2 = 0 \) не имеет корней.

Чтобы найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $(a^2 - 4)x^2 - 2(a - 2)x + 2 = 0$ не имеет корней, нужно изучить дискриминант данного квадратного уравнения.

Шаг 1: Определение коэффициентов

Запишем уравнение в стандартной форме для квадратного уравнения:

где:

• $A = a^2 - 4$

• $B = -2(a - 2)$

• $C = 2$

Шаг 2: Условия для отсутствия корней

Для того чтобы уравнение не имело корней, его дискриминант $\Delta$ должен быть меньше нуля. Дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

Подставим значения коэффициентов $A$, $B$ и $C$:

Шаг 3: Упростим дискриминант

Раскроем квадрат и упростим выражение:

Шаг 4: Условие для отсутствия корней

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля:

Умножим обе части неравенства на $-1$ (меняем знак неравенства):

Шаг 5: Решение неравенства

Решим неравенство $4a^2 + 16a - 48 > 0$. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

Разделим обе части на 4:

Теперь находим дискриминант этого уравнения:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Итак, корни уравнения $a^2 + 4a - 12 = 0$ — это $a = 2$ и $a = -6$.

Шаг 6: Анализ знаков

Теперь мы решаем неравенство $4a^2 + 16a - 48 > 0$, которое эквивалентно $(a - 2)(a + 6) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули выражения — это $a = 2$ и $a = -6$. Рассмотрим знаки на интервалах:

• Для $a < -6$: оба множителя отрицательные, произведение положительное.

• Для $-6 < a < 2$: один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.

• Для $a > 2$: оба множителя положительные, произведение положительное.

Неравенство $(a - 2)(a + 6) > 0$