Найдите наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 7 различных делителей.

Чтобы найти наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 7 различных делителей, необходимо разобраться с тем, как количество делителей числа зависит от его разложения на простые множители.

Если число разложено на простые множители в виде:

где $p_1, p_2, \dots, p_k$ — простые числа, а $e_1, e_2, \dots, e_k$ — их соответствующие степени, то количество делителей числа $n$ можно вычислить по формуле:

Задача состоит в том, чтобы найти число с 7 делителями. 7 — это простое число, и оно может быть разложено только как произведение $7 = 7 \times 1$. Это означает, что количество делителей числа может быть выражено как произведение $7 = (e_1 + 1)$, то есть $e_1 = 6$. Таким образом, $n$ должно быть степенью какого-то простого числа, а именно $n = p^6$, где $p$ — простое число.

Так как нам нужно найти наименьшее нечётное число, то $p$ должно быть нечётным простым числом. Наименьшее нечётное простое число — это 3. Следовательно, наименьшее нечётное число с ровно 7 делителями будет равно:

Таким образом, наименьшее нечётное натуральное число, имеющее ровно 7 различных делителей, — это 729.