Найдите наибольшее значение функции \( y = (x + 7)^2 (x - 1) + 6 \) на отрезке \([-13; -6]\).

Для нахождения наибольшего значения функции $y = (x + 7)^2 (x - 1) + 6$ на отрезке $[-13; -6]$ нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдём производную функции

Для начала найдем первую производную функции $y$, чтобы найти критические точки, где производная равна нулю или не существует.

Функция $y$ выглядит так:

Для удобства будем использовать правило произведения. Обозначим:

Тогда:

Теперь найдём производную $y$ по $x$, используя правило произведения:

Вычислим производные $u'$ и $v'$:

Тогда:

Упростим выражение:

Шаг 2: Находим критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Это уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $x + 7 = 0$ даёт $x = -7$

2. $3x + 5 = 0$ даёт $x = -\frac{5}{3}$

Шаг 3: Определяем значения функции на отрезке

Теперь нам нужно найти значения функции $y$ на концах отрезка $[-13; -6]$ и в критической точке $x = -7$, которая лежит в пределах этого отрезка.

1. Когда $x = -13$:

2. Когда $x = -7$:

3. Когда $x = -6$:

Шаг 4: Находим наибольшее значение

Теперь сравним значения функции в найденных точках:

• $y(-13) = -498$

• $y(-7) = 6$

• $y(-6) = -1$

Наибольшее значение функции на отрезке $[-13; -6]$ равно $6$, которое достигается в точке $x = -7$.