Решите неравенство:x+5/x-10≥0/ дробь

Решим неравенство $\frac{x+5}{x-10} \geq 0$.

Шаг 1: Найдем область определения

Дробь $\frac{x+5}{x-10}$ определена, когда знаменатель $x - 10 \neq 0$, то есть $x \neq 10$.

Таким образом, область определения: $x \in (-\infty, 10) \cup (10, +\infty)$.

Шаг 2: Решим неравенство

Неравенство $\frac{x+5}{x-10} \geq 0$ означает, что дробь должна быть неотрицательной. То есть, либо дробь положительная, либо равна нулю.

Чтобы понять, когда дробь положительная или равна нулю, нужно рассмотреть знак числителя и знаменателя.

1. Числитель: $x + 5$.

   • Он равен 0, когда $x = -5$.

   • Он положителен, когда $x > -5$.

   • Он отрицателен, когда $x < -5$.

2. Знаменатель: $x - 10$.

   • Он равен 0, когда $x = 10$.

   • Он положителен, когда $x > 10$.

   • Он отрицателен, когда $x < 10$.

Теперь рассчитаем знаки дроби на различных промежутках:

• Интервал $(-\infty, -5)$:

  • $x + 5 < 0$ (отрицательно).

  • $x - 10 < 0$ (отрицательно).

  • Дробь $\frac{x+5}{x-10}$ будет положительной, так как оба множителя отрицательны.

• Точка $x = -5$:

  • Числитель равен 0, знаменатель отрицателен (так как $x - 10 < 0$ при $x = -5$).

  • Дробь равна 0: $\frac{x+5}{x-10} = 0$.

• Интервал $(-5, 10)$:

  • $x + 5 > 0$ (положительно).

  • $x - 10 < 0$ (отрицательно).

  • Дробь $\frac{x+5}{x-10}$ будет отрицательной.

• Точка $x = 10$:

  • Знаменатель равен 0, дробь не определена.

• Интервал $(10, +\infty)$:

  • $x + 5 > 0$ (положительно).

  • $x - 10 > 0$ (положительно).

  • Дробь $\frac{x+5}{x-10}$ будет положительной.

Шаг 3: Подсуммируем

Неравенство $\frac{x+5}{x-10} \geq 0$ выполняется на интервалах, где дробь либо положительна, либо равна нулю. Это происходит на следующих промежутках:

• $(-\infty, -5]$

• $(10, +\infty)$

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup (10, +\infty)$.