Найти производную функции: y = ln tg x

Чтобы найти производную функции $y = \ln(\tan(x))$, нужно применить несколько правил дифференцирования.

1. Используем правило дифференцирования сложной функции:
   Функция $y = \ln(u)$, где $u = \tan(x)$, является составной функцией, поэтому нужно использовать цепное правило:

   $$\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$$

   В нашем случае:

   $$u = \tan(x)$$

   2. Найдем производную $u = \tan(x)$:
      Производная от $\tan(x)$ по $x$ известна и равна:

   $$\frac{d}{dx} \tan(x) = \sec^2(x)$$

2. Подставим все в формулу:
   Теперь, применяя цепное правило, получаем:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan(x)} \cdot \sec^2(x)$$

3. Упростим выражение:
   Можно выразить $\frac{1}{\tan(x)}$ как $\cot(x)$. Таким образом, производная будет:

   $$\frac{dy}{dx} = \cot(x) \cdot \sec^2(x)$$

Ответ: производная функции $y = \ln(\tan(x))$ равна $\cot(x) \cdot \sec^2(x)$.