Решить уравнение 4^x-14*2^x-32=0

Для решения уравнения $4^x - 14 \cdot 2^x - 32 = 0$, давайте сначала выразим всё через одну и ту же степень двойки.

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, поэтому можно заменить $4^x$ на $(2^x)^2$.

Получаем:

Теперь введем замену: пусть $y = 2^x$. Тогда уравнение превращается в квадратное:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = -14$, $c = -32$, поэтому:

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

Подставляем значения:

Теперь возвращаемся к переменной $y = 2^x$. Мы получили два возможных значения для $y$:

1. $y = 16$, что означает $2^x = 16$, или $2^x = 2^4$. Значит, $x = 4$.

2. $y = -2$, но так как $2^x$ всегда положительно, это значение не имеет смысла.

Таким образом, единственный корень уравнения — это $x = 4$.