Начинающий биограф должен расставить 5 книг на трех полках. Сколькими способами он это может сделать, если порядок книг существенен?

Если считать, что все 5 книг различны, а три полки различаются между собой, например верхняя, средняя и нижняя, то задача решается так.

Сначала можно расположить 5 книг в некотором порядке. Поскольку порядок книг существенен, число таких порядков равно

Теперь нужно распределить уже упорядоченный ряд из 5 книг по 3 полкам. То есть надо разбить этот ряд на 3 части: сколько книг окажется на первой полке, сколько на второй и сколько на третьей.

Полки могут содержать, например:

книги, или

книги, если пустые полки допускаются.

Число способов разбить 5 книг на 3 полки равно числу решений уравнения

где $x_1, x_2, x_3$ — количество книг на первой, второй и третьей полке. Если пустые полки разрешены, то $x_i \ge 0$.

Количество таких решений:

Значит, общее число способов:

Ответ:

Если же по условию каждая из трех полок обязательно должна быть непустой, тогда число способов было бы

Но при обычной формулировке «расставить 5 книг на трех полках» пустые полки считаются допустимыми, поэтому основной ответ — 2520.