Найдите все значения A, при каждом из которых уравнение (A-2)x² + (A-1)x + 1 = 0 имеет единственный корень.

Чтобы уравнение

имело единственный корень, нужно, чтобы оно имело квадратный корень, то есть дискриминант $D = 0$.

Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

Здесь $a = A-2$, $b = A-1$, $c = 1$. Подставляем:

Раскроем скобки:

Отсюда:

Но нужно проверить случай, когда уравнение выражается как линейное (коэффициент при $x^2$ равен нулю), потому что тогда «единственный корень» определяется иначе.

Коэффициент при $x^2$ равен $A - 2$. Если $A - 2 = 0 \Rightarrow A = 2$, то уравнение превращается в:

У него действительно один корень $x = -1$.

Таким образом, все значения $A$, при которых уравнение имеет единственный корень:

Проверка:

1. $A = 2$: уравнение $x + 1 = 0$ → один корень $x = -1$. ✔

2. $A = 3$: уравнение $x^2 + 2x + 1 = 0$ → $(x+1)^2 = 0$, один корень $x = -1$. ✔

Ответ полностью верный.