Вычислить сумму ∑ 1/(n(n+1)(n+2))

Хорошо, давайте подробно разберём, как вычислить сумму

Шаг 1: Разложение на простые дроби

Для выражения $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ удобно использовать метод разложения на простые дроби:

Домножаем обе части на $n(n+1)(n+2)$:

Раскроем скобки:

Сравниваем коэффициенты с левой частью $1$:

1. Коэффициент при $n^2$: $A + B + C = 0$

2. Коэффициент при $n$: $3A + 2B + C = 0$

3. Свободный член: $2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$

Теперь подставляем $A = \frac{1}{2}$ в первые два уравнения:

1. $\frac{1}{2} + B + C = 0 \implies B + C = -\frac{1}{2}$

2. $3 \cdot \frac{1}{2} + 2B + C = 0 \implies \frac{3}{2} + 2B + C = 0 \implies 2B + C = -\frac{3}{2}$

Вычтем первое уравнение из второго:

Тогда $C = -\frac{1}{2} - B = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$.

Итак, разложение:

Шаг 2: Преобразование суммы

Теперь суммируем от $n=1$ до $\infty$: