Arcctg(-корень(3)/3)+arctg(-1)-arcctg(0)

Давай разберём выражение шаг за шагом:

Выражение:

1. Преобразуем арккотангенс в арктангенс (по необходимости)

Напомним, что:

Но лучше использовать стандартные значения углов.

2. Вычислим каждую часть

a) $\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

• Сначала вспомним: $\text{ctg}(\pi/6) = \sqrt{3}$, $\text{ctg}(\pi/3) = 1/\sqrt{3}$.

• Нам нужно $\text{arcctg}(-\sqrt{3}/3)$. То есть ищем угол $\theta$, для которого $\cot \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

• $\frac{\sqrt{3}}{3} = \tan(\pi/6)$. Значит, $\cot(\pi/3) = 1/\tan(\pi/3) = 1/\sqrt{3} \approx 0.577$.

• Нам нужен отрицательный: $\cot \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$

• Стандартный диапазон $\text{arcctg}(x)$ — от 0 до $\pi$.

• Угол с положительным $\cot = 1/\sqrt{3}$ это $\pi/3$. Тогда с отрицательным — $\pi - \pi/3 = 2\pi/3$.

Итак:

b) $\arctg(-1)$

• Стандартный диапазон арктангенса: $-\pi/2 < \arctg x < \pi/2$

• $\arctg(-1) = -\pi/4$

c) $\text{arcctg}(0)$

• $\cot \theta = 0 \implies \theta = \pi/2$

• Так как стандартный диапазон $[0, \pi]$, это просто $\pi/2$

3. Подставляем значения

Приведём к общему знаменателю (12):