Найти область значений функции y = sin⁸x + cos⁸x.

Нужно найти область значений функции:

Обозначим:

Тогда

А сама функция примет вид:

Но удобнее преобразовать исходное выражение напрямую:

Используем формулу:

Пусть

Тогда

Теперь найдём $\sin^4 x+\cos^4 x$:

Так как

получаем:

Обозначим

Тогда

Раскроем скобки:

Теперь нужно понять, какие значения принимает $t$.

Так как

то

Поскольку

получаем:

Теперь рассмотрим функцию

на отрезке

Это квадратичная функция с ветвями вверх. Её вершина находится при