Как решить иррациональные уравнения? 1) √(x-1) = x-3 2) √(3-2x) - √(1-x) = 1

1) Решим уравнение \( \sqrt{x-1}=x-3 \).

Сначала найдём область допустимых значений: под корнем должно быть неотрицательно, и правая часть тоже не может быть отрицательной:

\[x-1\ge0,\quad x-3\ge0\]

Значит, \(x\ge3\).

Возводим обе части в квадрат:

\[x-1=(x-3)^2\]

\[x-1=x^2-6x+9\]

\[x^2-7x+10=0\]

\[(x-5)(x-2)=0\]

Получаем \(x=5\) или \(x=2\). По условию \(x\ge3\), значит подходит только \(x=5\).

Ответ: \(x=5\).

2) Решим уравнение \(\sqrt{3-2x}-\sqrt{1-x}=1\).

Область допустимых значений:

\[3-2x\ge0,\quad 1-x\ge0\]

Значит, \(x\le1\).

Перенесём второй корень:

\[\sqrt{3-2x}=1+\sqrt{1-x}\]

Возводим в квадрат:

\[3-2x=1+2\sqrt{1-x}+1-x\]

\[3-2x=2-x+2\sqrt{1-x}\]

\[1-x=2\sqrt{1-x}\]

Пусть \(t=\sqrt{1-x}\), тогда \(1-x=t^2\). Получаем:

\[t^2=2t\]

\[t(t-2)=0\]

Значит, \(t=0\) или \(t=2\).

Если \(t=0\), то \(\sqrt{1-x}=0\), значит \(x=1\).

Если \(t=2\), то \(\sqrt{1-x}=2\), значит \(1-x=4\), откуда \(x=-3\).

Проверка показывает, что оба числа подходят.

Ответ: \(x=1\), \(x=-3\).

0 0 Пожаловаться