2 sin x cos x + 5 cos² x = 4

Решим уравнение \(2 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 4\).

Заметим, что \(\cos x = 0\) не является решением (тогда левая часть равна 0). Разделим обе части на \(\cos^2 x\):

\[2 \tan x + 5 = \frac{4}{\cos^2 x} = 4(1 + \tan^2 x)\]

Получаем квадратное уравнение относительно \(\tan x\):

\[4 \tan^2 x - 2 \tan x - 1 = 0\]

Решаем: \(\tan x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}\).

Ответ: \(x = \arctan\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\right) + \pi k\) или \(x = \arctan\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}\right) + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

0 0 Пожаловаться