Дан квадрат, одна сторона которого разделена пополам и соединена вершиной отрезком, ограничивающим заштрихованный треугольник.
Также даны 2 ящика: в первом — 3 белых и 2 чёрных шара, а во втором — 2 белых и 4 чёрных шара.
В квадрате наугад выбирается точка. Если она попала в заштрихованную область, то выбирается шар из первого ящика, в противном случае — из второго.
а) найти вероятность того, что шар оказался чёрным;
б) пусть извлечённый шар оказался чёрным. Найти вероятность того, что точка попала в заштрихованный треугольник.

Заштрихованный треугольник занимает четверть площади квадрата: его основание равно половине стороны квадрата, а высота равна стороне квадрата.

Если сторона квадрата равна \(a\), то площадь треугольника:

\[S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot a=\frac{a^2}{4}\]

Значит, вероятность попасть в заштрихованную область:

\[P(A)=\frac{1}{4}\]

Вероятность вытащить чёрный шар из первого ящика:

\[P(B|A)=\frac{2}{5}\]

Из второго ящика:

\[P(B|\overline{A})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

а) Найдём вероятность чёрного шара:

\[P(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}+\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\]

\[P(B)=\frac{1}{10}+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}\]

Ответ а): \(\frac{3}{5}\).

б) Теперь известно, что шар оказался чёрным. Нужно найти вероятность, что точка попала в треугольник:

\[P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}\]

\[P(A|B)=\frac{\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{6}\]

Ответ б): \(\frac{1}{6}\).

0 0 Пожаловаться