1) Вычислить объём тела, полученного вращением фигуры φ вокруг указанной оси. φ: ρ=2(1+cos φ),

Ответы на вопрос

Отвечает Данилова Анастасия.

1) Объём тела, полученного вращением фигуры

ρ = 2 (1 + cos φ)

вокруг полярной оси

Полярная ось — это ось $O x$ . Данная кривая является кардиоидой, симметричной относительно полярной оси. При вращении всей фигуры вокруг оси $O x$ удобно использовать метод объёмов через элемент площади:

V = 2 π D \iint y d S

Так как берём только верхнюю половину фигуры ( $0 \leq φ \leq π$ ), чтобы не считать объём дважды:

y = ρ sin φ, d S = ρ d ρ d φ

Тогда

V = 2 π \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 (1 + c o s φ)} ρ sin φ \cdot ρ d ρ d φ

V = 2 π \int_{0}^{π} sin φ (\int_{0}^{2 (1 + c o s φ)} ρ^{2} d ρ) d φ

Внутренний интеграл:

\int_{0}^{2 (1 + c o s φ)} ρ^{2} d ρ = \frac{[ 2 ( 1 + cos φ ) ] ^{3}}{3}

Следовательно,

V = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{π} sin φ [2 (1 + cos φ)]^{3} d φ

Выносим множитель:

V = \frac{16 π}{3} \int_{0}^{π} sin φ (1 + cos φ)^{3} d φ

Сделаем замену:

u = 1 + cos φ, d u = - sin φ d φ

При $φ = 0$ :

u = 2

при $φ = π$ :

u = 0

Получаем:

\int_{0}^{π} sin φ (1 + cos φ)^{3} d φ = \int_{0}^{2} u^{3} d u

= \frac{u ^{4}}{4}_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4

Тогда

V = \frac{16 π}{3} \cdot 4

V = \frac{64 π}{3}

2) Площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой

x = t - sin t, y = 1 - cos t, 0 \leq t \leq 2 π

(при вращении вокруг оси $O x$ , которая обычно указывается для этой задачи)

Площадь поверхности вращения находится по формуле:

S = 2 π \int_{0}^{2 π} y d s

где

d s = (x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t

Найдём производные:

x^{'} = 1 - cos t

y^{'} = sin t

Тогда

d s = (1 - cos t)^{2} + sin^{2} t d t

Раскроем выражение:

(1 - cos t)^{2} + sin^{2} t =

Ответы на вопрос

1) Объём тела, полученного вращением фигуры

2) Площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика