Дано шестизначное число, в записи которого цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 встречаются по одному разу. Может ли это число быть кратным 121?

Ответ: нет, такое шестизначное число не может быть кратным 121.

Доказательство.

Заметим, что $121=11^2$. Следовательно, если число делится на 121, то оно обязательно должно делиться и на 11.

Воспользуемся признаком делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных позициях, и суммой цифр, стоящих на чётных позициях, делится на 11.

Пусть наше шестизначное число имеет вид $\overline{abcdef}$, где $a,b,c,d,e,f$ — цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 в некотором порядке.

Обозначим:

Поскольку все шесть цифр встречаются ровно по одному разу, получаем:

При этом каждая из сумм состоит из трёх различных цифр. Поэтому наименьшая возможная сумма равна $1+2+3=6$, а наибольшая — $4+5+6=15$.

Следовательно,

Единственное число в этом промежутке, которое делится на 11, — это 0.

Значит, для делимости на 11 необходимо выполнение равенства

то есть $S_1=S_2$.

Но тогда

откуда

Это невозможно, поскольку сумма целых цифр должна быть целым числом.

Таким образом, ни одно шестизначное число, составленное из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 без повторений, не делится на 11, а значит, не может делиться и на 121.

Ответ: не может.