Устройство содержит 3 независимо работающих элемента. Вероятность отказа элементов соответственно равна p1, p2 и p3. Найти вероятность отказа:
отказ ровно одного элемента; отказ ровно двух элементов; отказ ровно трех элементов; ни один элемент не отказал; отказал хотя бы один элемент;
p1 = 0.7
p2 = 0.4
p3 = 0.5

Дано:

Устройство содержит 3 независимо работающих элемента. Вероятности отказа каждого элемента:

Так как элементы работают независимо, вероятность совместного наступления нескольких событий равна произведению их вероятностей.

Вероятности безотказной работы элементов:

Найдем вероятность каждого из требуемых событий.

1. Вероятность отказа ровно одного элемента

Ровно один элемент отказывает, а два других продолжают работать. Возможны три случая:

• отказал первый элемент, второй и третий работают;

• отказал второй элемент, первый и третий работают;

• отказал третий элемент, первый и второй работают.

Поскольку эти события несовместны, складываем их вероятности:

Подставим значения:

Вычислим:

Ответ: вероятность отказа ровно одного элемента равна $0{,}36$.

2. Вероятность отказа ровно двух элементов

Ровно два элемента отказывают, а один остается работоспособным. Возможны три случая:

• отказали первый и второй элементы, третий работает;

• отказали первый и третий элементы, второй работает;

• отказали второй и третий элементы, первый работает.

Следовательно,

Подставим значения:

Вычислим:

Ответ: вероятность отказа ровно двух элементов равна $0{,}41$.

3. Вероятность отказа ровно трех элементов

Для отказа всех трех элементов необходимо, чтобы каждый из них отказал. Поскольку элементы работают независимо, перемножаем вероятности их отказа: