Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; второй — 0,8; третий — 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребует внимания; в) только третий станок потребует внимания рабочего.

Решение задачи состоит из нескольких частей. Для удобства, обозначим следующие вероятности:

• $P(A_1) = 0,9$ — вероятность того, что первый станок не потребует внимания.

• $P(A_2) = 0,8$ — вероятность того, что второй станок не потребует внимания.

• $P(A_3) = 0,75$ — вероятность того, что третий станок не потребует внимания.

Тогда вероятности того, что станок потребует внимания, будут:

• $P(\overline{A_1}) = 1 - 0,9 = 0,1$ — вероятность того, что первый станок потребует внимания.

• $P(\overline{A_2}) = 1 - 0,8 = 0,2$ — вероятность того, что второй станок потребует внимания.

• $P(\overline{A_3}) = 1 - 0,75 = 0,25$ — вероятность того, что третий станок потребует внимания.

а) Вероятность того, что за смену только один станок потребует внимания.

Для того чтобы только один станок потребовал внимания, остальные два не должны требовать. Мы рассмотрим все возможные варианты:

1. Первый станок потребует внимания, а два других не потребуют:

   $$P(\overline{A_1} \cap A_2 \cap A_3) = P(\overline{A_1}) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,25 = 0,005$$

2. Второй станок потребует внимания, а два других не потребуют:

   $$P(A_1 \cap \overline{A_2} \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(A_3) = 0,9 \cdot 0,2 \cdot 0,25 = 0,045$$

3. Третий станок потребует внимания, а два других не потребуют:

   $$P(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,25 = 0,18$$

Теперь найдем полную вероятность того, что только один станок потребует внимания. Это сумма вероятностей всех трех случаев:

б) Вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания.

Для нахождения этой вероятности проще использовать дополняющее событие — вероятность того, что ни один станок не потребует внимания, а затем вычесть из 1:

1. Вероятность того, что все станки не потребуют внимания (то есть каждый станок будет работать нормально):

   $$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,75 = 0,54$$

Теперь вероятность того, что хотя бы один станок потребует внимания, будет:

в) Вероятность того, что только третий станок потребует внимания рабочего.

Здесь нужно, чтобы третий станок потребовал внимания, а два других не потребовали. Мы уже вычисляли этот случай в пункте а):