Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине C. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 3 см. Боковые грани ACS и BSC перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Грань ABS наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, и её площадь равна 12√2. Найдите объём данной пирамиды.
С рисунком и пояснениями.

Ответ: \(8\sqrt{3}\text{ см}^3\).

Схема расположения точек:

Треугольник \(ABC\) прямоугольный, поэтому его гипотенуза \(AB\) равна диаметру описанной окружности:

\[AB=2R=6\text{ см}.\]

Так как грани \(ACS\) и \(BCS\) перпендикулярны основанию, ребро \(SC\) — высота пирамиды. Обозначим расстояние от точки \(C\) до \(AB\) через \(d\), а высоту \(SC\) через \(h\).

Угол между гранью \(ABS\) и основанием равен \(60^\circ\), поэтому

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{d},\qquad h=\sqrt{3}d.\]

Высота грани \(ABS\), проведённая к \(AB\), равна \(\sqrt{h^2+d^2}=2d\). По площади грани:

\[12\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2d,\qquad d=2\sqrt{2}\text{ см}.\]

Тогда \(h=2\sqrt{6}\text{ см}\), а площадь основания:

\[S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ см}^2.\]

Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{3}S_{ABC}h=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{2}\cdot2\sqrt{6}=8\sqrt{3}\text{ см}^3.\]

0 0 Пожаловаться