Формула изменения внутренней энергии

Внутренняя энергия $U$ — это функция состояния термодинамической системы. Поэтому изменение внутренней энергии зависит только от начального и конечного состояний и записывается как

Но обычно под “формулой изменения внутренней энергии” имеют в виду выражение через тепло и работу из первого начала термодинамики.

1) Общая формула (первое начало термодинамики)

В наиболее распространённой школьно-вузовской записи:

где

• $Q$ — количество теплоты, сообщённое системе (если систему нагревают, $Q>0$; если охлаждают, $Q<0$);

• $A$ — работа, совершённая системой над внешними телами (например, при расширении газа $A>0$).

Эквивалентная запись, если работу обозначают как работу, совершённую над системой:

потому что $A_{\text{над}} = -A$.

Важно не путать знак: в разных учебниках встречаются разные соглашения, но физический смысл один и тот же.

2) Частный случай: только $pV$-работа (квазистатически)

Если система (например, газ в цилиндре с поршнем) совершает только работу расширения/сжатия, то

и тогда

Это полезно, когда давление меняется по ходу процесса (не обязательно постоянно).

3) Для идеального газа через температуру

Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры:

где

• $n$ — количество вещества (моль),

• $C_V$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме,

• $\Delta T = T_2 - T_1$.

Также часто пишут через число степеней свободы $f$:

Примеры:

• одноатомный идеальный газ: $f=3$, $\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T$;

• двухатомный (в обычных условиях часто берут $f=5$), $\Delta U=\frac{5}{2}nR\Delta T$.

4) Типовые процессы (быстро узнавать $\Delta U$)

Изохорный процесс ($V=\text{const}$)

Работа расширения отсутствует: $A=0$.

Адиабатный процесс ($Q=0$)

Теплообмена нет:

То есть если газ расширяется и делает работу, его внутренняя энергия уменьшается.

Изотермический процесс идеального газа ($T=\text{const}$)

Для идеального газа $\Delta T=0$, значит

Тогда из первого начала следует $Q = A$ (всё полученное тепло уходит в работу или наоборот).

Итог: базовая “формула изменения внутренней энергии” в термодинамике — это

а для идеального газа часто удобнее