Определите тип дифференциального уравнения и найдите его решение: y'cosx - ysinx = sin2x.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Приведём к стандартному виду:

\( y' - y\,\text{tg}\,x = \dfrac{\sin 2x}{\cos x} = 2\sin x \).

Интегрирующий множитель: \( \mu = e^{\int -\text{tg}\,x\,dx} = \cos x \).

Умножаем уравнение на \(\cos x\):
\( y'\cos x - y\sin x = 2\sin x\cos x \), то есть \( (y\cos x)' = \sin 2x \).

Интегрируем: \( y\cos x = -\frac{1}{2}\cos 2x + C \).

Общее решение:
\( y = \dfrac{C}{\cos x} - \dfrac{\cos 2x}{2\cos x} = K\sec x - \cos x \), где \( K \) — произвольная постоянная.

0 0 Пожаловаться