найдите область значений функции 2sinx+cos²x (два синус икс плюс косинус в квадрате икс)

Функция: \( f(x) = 2\sin x + \cos^2 x \).

Используем тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Тогда:
\( f(x) = 2\sin x + 1 - \sin^2 x = -\sin^2 x + 2\sin x + 1 \).

Сделаем замену \( t = \sin x \), где \( t \in [-1; 1] \). Получаем квадратичную функцию:
\( f(t) = -t^2 + 2t + 1 \).

Выделим полный квадрат:
\( f(t) = -(t^2 - 2t) + 1 = -( (t-1)^2 - 1 ) + 1 = -(t-1)^2 + 2 \).

Так как \( t \in [-1; 1] \), выражение \( (t-1)^2 \) принимает значения от 0 (при \( t = 1 \)) до 4 (при \( t = -1 \)). Следовательно, \( f(t) = 2 - (t-1)^2 \) принимает значения от \( 2 - 4 = -2 \) до \( 2 - 0 = 2 \).

Область значений: \( [-2; 2] \).

0 0 Пожаловаться