Дорога из села в город сначала идёт в гору, а затем под уклон. Велосипедист проехал этот путь за 5 часов, а обратно за 5 ч 30 мин. Определите расстояние от города до села, если путь в гору (от села) на 30 км меньше спуска, а скорость на спуске на 5 км/ч больше, чем на подъёме.

Обозначим путь в гору от села до города за \(x\) км, а путь под уклон — за \(y\) км. По условию путь в гору на 30 км меньше спуска, поэтому \(x = y - 30\).

Скорость на подъёме \(v\) км/ч, на спуске \(v+5\) км/ч.

Время из села в город: \(\frac{x}{v} + \frac{y}{v+5} = 5\).

Время обратно (из города в село): \(\frac{y}{v} + \frac{x}{v+5} = 5{,}5\) (5 ч 30 мин = 5,5 ч).

Вычтем первое уравнение из второго:

\(\frac{y}{v} - \frac{x}{v} + \frac{x}{v+5} - \frac{y}{v+5} = 0{,}5\)

\(\frac{y-x}{v} + \frac{x-y}{v+5} = 0{,}5\).

Так как \(y - x = 30\), а \(x - y = -30\), получаем:

\(\frac{30}{v} - \frac{30}{v+5} = 0{,}5\).

Умножим обе части на \(v(v+5)\):

\(30(v+5) - 30v = 0{,}5 \cdot v(v+5)\)

\(150 = 0{,}5v(v+5)\)

Умножим на 2: \(300 = v(v+5)\) или \(v^2 + 5v - 300 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(v = \frac{-5 + \sqrt{25 + 1200}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = 15\) (отрицательный корень не подходит).

Итак, скорость на подъёме \(v = 15\) км/ч, на спуске \(20\) км/ч.

Подставим \(v\) и \(x = y - 30\) в первое уравнение:

\(\frac{y-30}{15} + \frac{y}{20} = 5\).

Умножим на 60: \(4(y-30) + 3y = 300\)

\(4y - 120 + 3y = 300\)

\(7y = 420\)

\(y = 60\) км, тогда \(x = 30\) км.

Расстояние от города до села равно \(x + y = 30 + 60 = 90\) км.

Ответ: 90 км.

0 0 Пожаловаться