При каких значениях [tex]\alpha[/tex] функция

[tex]y=\left \{ {{|x|^{\alpha }sin\frac{1}{x},\ x\neq0 } \atop {0, \ x=0}} \right.[/tex]

в точке х0=0:

а) непрерывна;

b) имеет производную;

c) имеет непрерывную производную.

Рассмотрим функцию \(y = \begin{cases} |x|^{\alpha} \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}\) в точке \(x_0 = 0\).

а) Непрерывность. Функция непрерывна в нуле, если \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0\). Так как \(|\sin\frac{1}{x}| \le 1\), то \(|f(x)| \le |x|^{\alpha}\). Предел будет равен нулю, если \(|x|^{\alpha} \to 0\) при \(x \to 0\), то есть при \(\alpha > 0\). При \(\alpha = 0\) предел не существует, при \(\alpha < 0\) функция неограниченна. Значит, условие непрерывности: \(\alpha > 0\).

б) Существование производной. Производная в нуле определяется как \(f'(0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{|h|^{\alpha} \sin\frac{1}{h}}{h}\). При \(h > 0\) выражение равно \(h^{\alpha-1} \sin\frac{1}{h}\), при \(h < 0\) — аналогично с точностью до знака. Предел существует, если \(\alpha - 1 > 0\), то есть \(\alpha > 1\). При \(\alpha = 1\) получаем \(\sin\frac{1}{h}\), который не имеет предела. Следовательно, производная существует при \(\alpha > 1\).

в) Непрерывность производной. При \(x \neq 0\) и, например, \(x > 0\): \(f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \sin\frac{1}{x} - x^{\alpha-2} \cos\frac{1}{x}\). Чтобы \(\lim\limits_{x \to 0} f'(x)\) существовал и равнялся \(f'(0) = 0\), нужно, чтобы оба слагаемых стремились к нулю. Первое слагаемое стремится к нулю при \(\alpha > 1\), второе — при \(\alpha - 2 > 0\), то есть \(\alpha > 2\). При \(\alpha = 2\) второе слагаемое осциллирует. Поэтому производная непрерывна при \(\alpha > 2\).

0 0 Пожаловаться