Найти производную функции: [tex]y= \frac{tgx}{x}[/tex]



Распишите решение полностью, и желательно с использованием редактора формул.

Дана функция:

\[y = \frac{\tg x}{x}\]

Это дробь, поэтому используем правило производной частного:

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Здесь:

\[u = \tg x, \quad v = x\]

Найдём производные:

\[u' = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\]

\[v' = x' = 1\]

Подставим в формулу:

\[y' = \frac{\frac{1}{\cos^2 x} \cdot x - \tg x \cdot 1}{x^2}\]

Получаем:

\[y' = \frac{\frac{x}{\cos^2 x} - \tg x}{x^2}\]

Ответ:

\[y' = \frac{\frac{x}{\cos^2 x} - \tg x}{x^2}\]

Можно также записать так:

\[y' = \frac{x - \sin x \cos x}{x^2\cos^2 x}\]

0 0 Пожаловаться