найти значение выражения sin(П\4-альфа)cos(П\4-альфа), если известно, что sinчетвертой степени альфа - cosчетвертой степени альфа=0,5.

Нужно найти:

\[\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\]

Используем формулу:

\[\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\]

Тогда:

\[\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\]

Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)=\cos 2\alpha\), получаем:

\[\frac{1}{2}\cos 2\alpha\]

Теперь упростим условие:

\[\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=0{,}5\]

Разложим как разность квадратов:

\[\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

Так как \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), то:

\[\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0{,}5\]

А \(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha\), значит:

\[-\cos 2\alpha=0{,}5\]

\[\cos 2\alpha=-0{,}5\]

Подставляем:

\[\frac{1}{2}\cos 2\alpha=\frac{1}{2}\cdot(-0{,}5)=-0{,}25\]

Ответ: \(-0{,}25\), или \(-\frac{1}{4}\).

0 0 Пожаловаться