Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой [tex]- \sqrt{ 3x ^{2} } +18[/tex] составляет с положительным направлением оси ОХ угол в 120 градусов.

Давайте решим задачу шаг за шагом, как это обычно делают на сайте с вопросами и ответами.

Дано: функция

и нужно найти абсциссу точки, в которой касательная к этой кривой составляет с положительным направлением оси $OX$ угол $120^\circ$.

Шаг 1: Найдём производную

Касательная к кривой в точке $x$ имеет угловой коэффициент

где $\alpha$ — угол наклона касательной с положительным направлением оси $OX$.

Сначала упростим функцию. Так как $\sqrt{3x^2} = \sqrt{3}\,|x|$, то функция:

Производная функции зависит от знака $x$:

• Если $x > 0$: $|x| = x \Rightarrow y = -\sqrt{3} x + 18 \Rightarrow y' = -\sqrt{3}$

• Если $x < 0$: $|x| = -x \Rightarrow y = -\sqrt{3}(-x) + 18 = \sqrt{3} x + 18 \Rightarrow y' = \sqrt{3}$

• В точке $x = 0$ производная не определена (излом графика).

Шаг 2: Найдём угловой коэффициент касательной

Угол с положительным направлением оси $OX$ равен $120^\circ$.
Тогда угловой коэффициент касательной:

$\tan 120^\circ = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$.

Шаг 3: Приравняем производную к угловому коэффициенту

• Для $x > 0$: $y' = -\sqrt{3}$ ✅ совпадает с $-\sqrt{3}$

• Для $x < 0$: $y' = \sqrt{3} \neq -\sqrt{3}$

• $x = 0$ — не определена

Таким образом, единственное решение — x > 0, где производная равна $-\sqrt{3}$.

Шаг 4: Найдём точку

Для $x > 0$ функция:

Угловой коэффициент уже равен $-\sqrt{3}$, и любой $x > 0$ удовлетворяет производной. Но так как угловой коэффициент строго соответствует $x > 0$, обычно берут точку, где касательная реально касается "излома" графика, но здесь график гладкий для $x>0$.

Таким образом, абсцисса точки:

Если требуется конкретное значение (например, минимальное положительное решение), можно взять $x = 0^+$, но в этой задаче единственное условие — $x > 0$.

Ответ:

Если нужно число, то любая положительная абсцисса кривой подойдёт, например $x = 1$.