Билет 8. Теоремы. Теоремы-признаки. Теоремы-следствия. Прямая и обратная теоремы. Методы доказательства теорем: метод от противного, приём дополнительного построения. Середина отрезка. Одна из сторон треугольника на 45 см меньше второй и в 3 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 215 см.

Теорема — это математическое утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства. Теорема обычно состоит из двух частей:

• условия — что дано;

• заключения — что требуется доказать.

Например: «Если в треугольнике две стороны равны, то углы, лежащие против этих сторон, равны».
Условие: две стороны треугольника равны.
Заключение: противолежащие углы равны.

Теоремы-признаки

Теорема-признак устанавливает, по каким известным свойствам можно определить другое свойство фигуры.

Например, признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По известным данным о сторонах и угле мы делаем вывод о равенстве треугольников.

Другой пример — признак параллельности прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теоремы-следствия

Следствие — утверждение, которое непосредственно вытекает из уже доказанной теоремы. Оно обычно требует короткого доказательства или вообще получается сразу после применения основной теоремы.

Например, из теоремы о сумме углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°.

получается следствие:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Действительно, один угол прямоугольного треугольника равен 90°, поэтому на два остальных приходится
$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Прямая и обратная теоремы

Прямая теорема имеет вид: если выполнено условие $A$, то выполняется заключение $B$.

Например:

Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.

Здесь условие: треугольник равнобедренный.
Заключение: углы при основании равны.

Обратная теорема меняет местами условие и заключение:

Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Здесь уже равенство углов является условием, а равенство противолежащих сторон — заключением.

Важно помнить: обратное утверждение не всегда является верным автоматически. Его необходимо доказывать отдельно.

Метод доказательства от противного

Метод от противного состоит в том, что сначала предполагают неверным то, что нужно доказать. Затем из этого предположения получают противоречие с условием, известной теоремой или очевидным фактом. Значит, первоначальное предположение неверно, а доказываемое утверждение истинно.

Схема:

1. Нужно доказать утверждение $A$.

2. Предполагаем, что $A$ неверно.

3. Рассуждаем и приходим к противоречию.

4. Следовательно, предположение было ложным.

5. Значит, утверждение $A$ верно.

Пример: доказать, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Предположим, что через такую точку проходят две разные прямые, параллельные данной. Тогда эти две прямые имели бы общую точку, но при этом были бы параллельны, что невозможно. Следовательно, такая прямая только одна.

Приём дополнительного построения

Дополнительное построение — это проведение в чертеже новых линий, точек, отрезков или лучей, которые прямо не указаны в условии, но помогают применить известные теоремы.

В качестве дополнительного построения можно:

• провести высоту, медиану или биссектрису треугольника;

• продлить сторону треугольника;

• провести через точку прямую, параллельную данной;

• соединить две точки отрезком;

• построить окружность или радиус.

Например, чтобы доказать свойства углов треугольника, часто через одну из его вершин проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Тогда появляются соответственные или накрест лежащие углы, и можно применить признаки параллельности прямых.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на две равные части.

Если точка $M$ — середина отрезка $AB$, то:

При этом точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, а точка $M$ расположена между точками $A$ и $B$.

Например, если $AB = 18$ см, а $M$ — середина отрезка $AB$, то:

Задача

Одна из сторон треугольника на 45 см меньше второй и в 3 раза меньше третьей. Периметр треугольника равен 215 см. Найти стороны треугольника.

Пусть первая, наименьшая сторона равна $x$ см.

Тогда вторая сторона на 45 см больше:

Третья сторона в 3 раза больше первой:

По условию периметр равен 215 см:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Значит, первая сторона равна:

Вторая сторона:

Третья сторона:

Проверим периметр:

Также $34+79>102$, значит, такие стороны действительно могут образовать треугольник.

Ответ: 34 см, 79 см и 102 см.