Докажите неравенство с помощью неравенства Коши-Буняковского
[tex]a^{2} +b^{2} +c^{2} +3\geq 2(a+b+c)\\\\(\sqrt{x} +1)(\sqrt{y} +1)(\sqrt{x} +\sqrt{y} )\geq 8\sqrt{xy}[/tex]

Докажем оба неравенства с помощью неравенства Коши — Буняковского:

1. Доказать, что

Доказательство.

По неравенству Коши — Буняковского:

Следовательно,

Так как $a^2+1\geq0$, извлекаем квадратный корень:

Аналогично получаем:

Сложим три полученных неравенства:

Отсюда

Равенство достигается при $a=b=c=1$.

2. Доказать, что

Доказательство.

Поскольку выражения содержат квадратные корни, считаем, что $x\geq0,\ y\geq0$.

Применим неравенство Коши — Буняковского:

Возьмём

Тогда