Задание 1. Задана функция y = x² - 10x + 21.
1) Найдите координаты вершины параболы, ось симметрии и постройте график функции. Используя график, ответьте:
2) Какова область значений функции?
3) Найдите наименьшее значение функции.
4) Назовите промежутки возрастания и убывания данной функции.
5) Найдите нули функции.
6) Найдите промежутки знакопостоянства, где y > 0 и промежутки, где y < 0.

Дана функция:

\[ y = x^2 - 10x + 21 \]

Выделим полный квадрат:

\[ y = x^2 - 10x + 25 - 25 + 21 = (x - 5)^2 - 4 \]

1. Вершина параболы и ось симметрии

Из вида \(y = (x - 5)^2 - 4\) видно, что вершина параболы имеет координаты \((5; -4)\). Ось симметрии: \(x = 5\). Ветви параболы направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) положительный.

Для построения можно взять точки: \((5; -4)\), \((3; 0)\), \((7; 0)\), \((0; 21)\). Точки \((3; 0)\) и \((7; 0)\) симметричны относительно прямой \(x = 5\).

2. Область значений

Так как наименьшее значение функции равно \(-4\), а ветви идут вверх:

\[ y \in [-4; +\infty) \]

3. Наименьшее значение функции

Наименьшее значение равно \(-4\), оно достигается при \(x = 5\).

4. Промежутки убывания и возрастания

Функция убывает на промежутке \(( -\infty; 5 )\).

Функция возрастает на промежутке \((5; +\infty)\).

5. Нули функции

Решим уравнение:

\[ x^2 - 10x + 21 = 0 \]

\[ (x - 3)(x - 7) = 0 \]

Значит, нули функции: \(x = 3\) и \(x = 7\).

6. Промежутки знакопостоянства

Парабола направлена вверх, поэтому выше оси \(x\) она находится вне корней, а ниже оси \(x\) — между корнями.

\[ y > 0 \text{ при } x \in (-\infty; 3) \cup (7; +\infty) \]

\[ y < 0 \text{ при } x \in (3; 7) \]

0 0 Пожаловаться