sinx-sin^2x=cos^2x-cosx

Решим уравнение:

\[\sin x-\sin^2 x=\cos^2 x-\cos x.\]

Используем тождество \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\[\sin x-\sin^2 x=1-\sin^2 x-\cos x.\]

Сократим \(-\sin^2 x\) в обеих частях:

\[\sin x=1-\cos x.\]

Перенесём:

\[\sin x+\cos x=1.\]

Возведём в квадрат:

\[(\sin x+\cos x)^2=1.\]

\[\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1.\]

Так как \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), получаем:

\[1+2\sin x\cos x=1,\]

\[\sin x\cos x=0.\]

Но ещё должно выполняться условие \(\sin x+\cos x=1\).

• Если \(\sin x=0\), то подходит \(\cos x=1\), значит \(x=2\pi k\).
• Если \(\cos x=0\), то подходит \(\sin x=1\), значит \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\).

Ответ: \(x=2\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

0 0 Пожаловаться