(5x+1/2x-3)^2+(3-2x/5x+1)^2=82/9 помоги с решением

Рассмотрим уравнение:

\[\left(\frac{5x+1}{2x-3}\right)^2+\left(\frac{3-2x}{5x+1}\right)^2=\frac{82}{9}.\]

Область допустимых значений: \(2x-3\ne0\), \(5x+1\ne0\), то есть \(x\ne\frac32\) и \(x\ne-\frac15\).

Обозначим:

\[y=\frac{5x+1}{2x-3}.\]

Тогда

\[\frac{3-2x}{5x+1}=-\frac1y.\]

Получаем:

\[y^2+\frac1{y^2}=\frac{82}{9}.\]

Пусть \(t=y^2\). Тогда:

\[t+\frac1t=\frac{82}{9},\]

\[9t^2-82t+9=0.\]

Отсюда \(t=9\) или \(t=\frac19\). Значит, \(y=3\), \(y=-3\), \(y=\frac13\), \(y=-\frac13\).

Подставляем в \(\frac{5x+1}{2x-3}=y\):

• \(y=3\): \(x=10\);
• \(y=-3\): \(x=\frac8{11}\);
• \(y=\frac13\): \(x=-\frac6{13}\);
• \(y=-\frac13\): \(x=0\).

Все значения входят в область допустимых значений.

Ответ: \(x=10\), \(x=\frac8{11}\), \(x=-\frac6{13}\), \(x=0\).

0 0 Пожаловаться