cos4x + cos2x = 0 на промежутке [-π; π/3].

Объясните, пожалуйста, пошагово.

Решим уравнение:

\[\cos 4x+\cos 2x=0\]

Используем формулу суммы косинусов:

\[\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\]

Подставим \(a=4x\), \(b=2x\):

\[\cos 4x+\cos 2x=2\cos 3x\cos x\]

Получаем:

\[2\cos 3x\cos x=0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

• \(\cos 3x=0\)
• \(\cos x=0\)

1. Решим \(\cos 3x=0\):

\[3x=\frac{\pi}{2}+\pi k\]

\[x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\]

Берём только те значения, которые попадают в промежуток \([-\pi;\frac{\pi}{3}]\). Подходят \(k=-3,-2,-1,0\):

\[x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{2},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\]

2. Решим \(\cos x=0\):

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k\]

На данном промежутке подходит только:

\[x=-\frac{\pi}{2}\]

Это значение уже есть в первом списке.

Ответ:

\[x=-\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{2},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}\]

0 0 Пожаловаться