y = (x^2 - 8) / (x - 3)
Провести полное исследование функции и построить график.

Дана функция:

\[ y = \frac{x^2 - 8}{x - 3} \]

1. Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x - 3 \ne 0, \quad x \ne 3 \]

Значит, \( D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty) \).

2. Разделим многочлены:

\[ \frac{x^2-8}{x-3}=x+3+\frac{1}{x-3} \]

Отсюда видны асимптоты: вертикальная \( x=3 \), наклонная \( y=x+3 \).

3. Пересечения с осями:

С осью \( Ox \):

\[ x^2-8=0, \quad x=\pm 2\sqrt2 \]

С осью \( Oy \): при \( x=0 \)

\[ y=\frac{-8}{-3}=\frac83 \]

4. Производная:

\[ y'=1-\frac{1}{(x-3)^2}=\frac{(x-4)(x-2)}{(x-3)^2} \]

Критические точки: \( x=2 \), \( x=4 \).

Функция возрастает на \( (-\infty;2) \) и \( (4;+\infty) \), убывает на \( (2;3) \) и \( (3;4) \).

\[ y(2)=4, \quad y(4)=8 \]

Значит, точка \( (2;4) \) — локальный максимум, точка \( (4;8) \) — локальный минимум.

5. Вторая производная:

\[ y''=\frac{2}{(x-3)^3} \]

При \( x<3 \) график выпуклый вниз, при \( x>3 \) — выпуклый вверх. Точек перегиба нет, потому что \( x=3 \) не входит в область определения.

6. Как строить график: проведи асимптоты \( x=3 \) и \( y=x+3 \), отметь точки \( (-2\sqrt2;0) \), \( (2\sqrt2;0) \), \( (0;\frac83) \), \( (2;4) \), \( (4;8) \). Левая ветвь расположена при \( x<3 \), правая — при \( x>3 \).

0 0 Пожаловаться