1. Комета движется в плоскости эклиптики по орбите с эксцентриситетом 0,95 и большой полуосью 40 а.е. Пересекает ли она орбиту Марса? Орбиту Марса считать круговой с радиусом 1,5 а.е.
2. Астероид движется по орбите с большой полуосью 3 а.е. Найдите период его обращения вокруг Солнца.
3. Найдите ускорение свободного падения, первую и вторую космические скорости для небесного тела с массой примерно в 4 массы Земли и радиусом в 2,3 радиуса Земли.

1. Перигелий кометы, то есть ближайшая к Солнцу точка орбиты, находится по формуле:

\[q=a(1-e)\]

Подставим данные:

\[q=40(1-0{,}95)=40\cdot0{,}05=2\text{ а.е.}\]

Орбита Марса имеет радиус \(1{,}5\text{ а.е.}\). Так как ближайшая точка орбиты кометы равна \(2\text{ а.е.}\), комета не доходит до орбиты Марса.

Ответ: орбиту Марса не пересекает.

2. По третьему закону Кеплера для тел, движущихся вокруг Солнца:

\[T^2=a^3\]

Если \(a=3\text{ а.е.}\), то:

\[T=\sqrt{3^3}=\sqrt{27}=3\sqrt3\approx5{,}2\text{ года}\]

Ответ: период обращения примерно \(5{,}2\) года.

3. Масса тела: \(M=4M_З\), радиус: \(R=2{,}3R_З\).

Ускорение свободного падения:

\[g=g_З\cdot\frac{4}{2{,}3^2}\]

\[g\approx9{,}8\cdot\frac{4}{5{,}29}\approx7{,}4\text{ м/с}^2\]

Первая космическая скорость:

\[v_1=v_{1З}\sqrt{\frac{4}{2{,}3}}\]

\[v_1\approx7{,}9\cdot1{,}32\approx10{,}4\text{ км/с}\]

Вторая космическая скорость:

\[v_2=\sqrt2v_1\]

\[v_2\approx1{,}41\cdot10{,}4\approx14{,}7\text{ км/с}\]

Ответ: \(g\approx7{,}4\text{ м/с}^2\), \(v_1\approx10{,}4\text{ км/с}\), \(v_2\approx14{,}7\text{ км/с}\).

0 0 Пожаловаться